Statistische Maßzahlen für Lage und zentrale Tendenz

array(10) { [0]=> array(16) { ["mblockType"]=> string(4) "Text" ["ShinyApp"]=> string(0) "" ["ShinyTitle"]=> string(0) "" ["ShinyDescription"]=> string(0) "" ["TextTitle"]=> string(0) "" ["TextCols"]=> string(1) "1" ["TextText1"]=> string(1719) "*Beispieldaten & R-Syntax herunterladen:* [Link] ### Datenbeispiel Unser Beispieldatensatz (hypothetisches Datenbeispiel) liegt als CSV-Datei vor. Die Daten können mit der read.csv-Funktion eingelesen werden (der korrekte Pfad zum Speicherort muss angegeben werden): ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ r dat <- read.csv("C:/... Pfad .../dat.csv") ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Die Funktion erzeugt ein Objekt vom Typ data.frame, dem wir links vom Zuweisungspfeil (<-) den Namen "dat" geben. Der Datensatz enthält u.a. die Variablen *punkte* (erzielte Punktzahl in einem Test), *schlafdauer* (Schlafdauer in der Nacht vor dem Test in Std.), *lernzeit* (insgesamt für den Test aufgewendete Lernzeit in Std.) und *lsport* (Lieblingssportart). Einzelne Variablen können als Datensatzname$Variablenname angesprochen werden, z.B.: dat$punkte [1] 93.0 76.5 79.5 85.0 66.5 71.0 56.5 77.0 59.0 63.5 72.0 70.0 96.0 72.0 62.5 76.5 86.0 57.5 [19] 60.0 73.5 64.5 54.0 85.0 64.0 57.5 54.0 76.5 41.0 58.5 87.5 62.5 62.5 100.5 86.0 66.5 79.5 [37] 77.0 67.5 58.5 92.5 94.5 77.0 76.0 67.0 44.5 86.5 70.0 81.5 90.5 78.0 80.5 74.0 56.5 60.0 [55] 83.0 70.0 49.0 57.0 48.0 70.5 96.5 106.0 65.5 86.5 87.5 89.5 64.0 86.0 62.0 94.5 52.0 73.5 [73] 77.0 83.5 62.5 52.5 51.5 86.5 70.5 57.5 68.0 103.0 79.0 75.0 113.5 78.0 104.5 84.5 63.5 46.0 [91] 102.5 77.0 73.5 71.0 106.0 79.0 77.5 87.0 92.5 11.5 83.5 86.5 78.5 67.5 71.0 61.5 31.0 50.5 [109] 87.5 66.5 67.0 60.5 61.5 83.5 66.0 97.0 79.5 83.5 82.0 63.0 Die Ausgabe zeigt die 120 beobachteten Werte der Variable *punkte*." ["TextText2"]=> string(0) "" ["H5pTitle"]=> string(0) "" ["H5pDescription"]=> string(0) "" ["H5pCode"]=> string(0) "" ["MtmTitle"]=> string(0) "" ["MtmText"]=> string(0) "" ["CodeTitle"]=> string(0) "" ["CodeCode"]=> string(0) "" ["CodeType"]=> string(1) "R" } [1]=> array(16) { ["mblockType"]=> string(3) "Mtm" ["ShinyApp"]=> string(0) "" ["ShinyTitle"]=> string(0) "" ["ShinyDescription"]=> string(0) "" ["TextTitle"]=> string(0) "" ["TextCols"]=> string(1) "1" ["TextText1"]=> string(0) "" ["TextText2"]=> string(0) "" ["H5pTitle"]=> string(0) "" ["H5pDescription"]=> string(0) "" ["H5pCode"]=> string(0) "" ["MtmTitle"]=> string(68) "Wie bekomme ich einen Überblick über einen unbekannten Datensatz? " ["MtmText"]=> string(2612) "Für einen ersten Überblick über die Struktur des Datensatzes und die im Datensatz enthaltenen Variablen kann die Funktion str(dat) verwendet werden: str(dat) liefert das folgende Ergebnis: 'data.frame': 120 obs. of 25 variables: $ X : int 94 66 78 28 3 113 16 11 96 99 ... $ punkte : num 93 76.5 79.5 85 66.5 71 56.5 77 59 63.5 ... $ schlafdauer : num 6.2 5.3 5.5 7 6.5 6.4 5.7 6.8 5.4 6.8 ... $ lernzeit : num 8.2 7 6.8 7.3 7.3 3.9 4.9 7.6 2.5 9.2 ... $ nachhilfe : int 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 ... $ zeugnis_mathe_roh : num 101.3 89.7 86.2 83.6 86.8 ... $ zeugnis_mathe_punkte : int 13 11 10 10 10 11 9 10 9 10 ... $ zeugnis_mathe_note : Factor w/ 4 levels "ausreichend",..: 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 ... $ zeugnis_deutsch_punkte: int 8 9 10 6 10 10 9 12 5 13 ... $ zeugnis_deutsch_note : Factor w/ 4 levels "ausreichend",..: 3 3 2 4 2 2 3 2 4 1 ... $ lsport : Factor w/ 6 levels "Andere Sportart",..: 4 5 1 3 3 4 3 3 4 4 ... $ sport_fb : int 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 ... $ sport_bb : int 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 ... $ sport_sw : int 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 ... $ sport_tn : int 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ... $ sport_an : int 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 ... $ sport_no : int 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ... $ sport_test : int 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 ... $ kantine_zufr : int 4 4 3 5 3 2 2 1 3 2 ... $ taschengeld : int 33 30 29 35 28 32 41 36 34 34 ... $ lauf100 : num 14.3 13.2 13.9 14 15 14.2 14.1 14.8 15.2 13.8 ... $ lauf1000 : num 234 229 210 222 227 ... $ lauf5000 : num 489 465 484 486 461 ... $ kugel : num 8.15 9.26 8.47 8.37 7.56 ... $ lfach : Factor w/ 7 levels "anderes Fach",..: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ... Zu den einzelnen Variablen zeigt die Ausgabe deren Speicherformat (*int* für "integer", *num* für "numeric" - beides Zahlenwerte, *Factor* für nicht-numerische Variablen) und die jeweils ersten Werte im Datensatz. In der Benutzeroberfläche R-Studio liefert der **Data Viewer** zudem einen Einblick in den Datensatz als Datentabelle. Aufgerufen wird er mit der Funktion View(dat) So sieht ein Ausschnitt aus dem Data Viewer aus: " ["CodeTitle"]=> string(0) "" ["CodeCode"]=> string(0) "" ["CodeType"]=> string(0) "" } [2]=> array(16) { ["mblockType"]=> string(4) "Text" ["ShinyApp"]=> string(0) "" ["ShinyTitle"]=> string(0) "" ["ShinyDescription"]=> string(0) "" ["TextTitle"]=> string(0) "" ["TextCols"]=> string(1) "1" ["TextText1"]=> string(962) "### Lagemaße anhand der Funktion *summary()* Einen Überblick über die wichtigsten Lagemaße bietet die Funktion summary(). Die Funktion ist generisch, d.h. sie passt ihre Berechnungen der Art der Informationen (technisch: den Objekttypen) an, die sie erhält. Verwenden wir *summary()* z.B. auf die numerische Variable *punkte*, erhalten wir das arithmetische Mittel (*Mean*), den Median (*Median*) und das erste und das dritte Quartil (*1st Qu.* und *3rd Qu.*) sowie den kleinsten und den größten Wert der Verteilung (*Min.* und *Max.*): ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ r summary(dat$punkte) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 11.50 62.50 73.50 73.23 84.62 113.50 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Für eine kategoriale Variable (vom Objekttyp *Factor*) erhalten wir mit der Funktion *summary()* anstelle einer Tabelle mit deskriptiven Statistiken die Häufigkeitstabelle der Verteilung. Für die Variable *lsport*:" ["TextText2"]=> string(0) "" ["H5pTitle"]=> string(0) "" ["H5pDescription"]=> string(0) "" ["H5pCode"]=> string(0) "" ["MtmTitle"]=> string(0) "" ["MtmText"]=> string(1348) "Mit der Funktion *summary()* erhalten wir die wichtigsten Lagemaße. Die Funktion ist generisch, d.h. sie passt ihre Berechnungen der Art der Informationen an, die sie erhält. Verwenden wir *summary()* z.B. auf die numerische Variable *punkte*, erhalten wir das arithmetische Mittel (*Mean*), den Median (*Median*) und das erste und das dritte Quartil (*1st Qu.* und *3rd Qu.*) sowie den kleinsten und den größten Wert der Verteilung (*Min.* und *Max.*): summary(dat$punkte) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 11.50 62.50 73.50 73.23 84.62 113.50 Bei einer kategorialen Variable (gespeichert als *Factor*) erhalten wir mit der Funktion *summary()* die Häufigkeitstabelle der Verteilung. So ergibt sich Folgendes für die Variable *lsport*: summary(dat$lsport) Andere Sportart Basketball Fußball 14 18 34 Keine Sportart Schwimmen Tennis 32 16 6 Aus der Häufigkeitstabelle können wir den Modalwert direkt ablesen. Die am häufigsten genannte Lieblingssportart ist Fußball. Oft sind wir an den einzelnen Maßzahlen interessiert, etwa um sie als Objekte in weiteren Funktionen zu nutzen. Dafür können wir alle Lagemaße auch einzeln ermitteln:" ["CodeTitle"]=> string(0) "" ["CodeCode"]=> string(0) "" ["CodeType"]=> string(0) "" } [3]=> array(16) { ["mblockType"]=> string(4) "Code" ["ShinyApp"]=> string(0) "" ["ShinyTitle"]=> string(0) "" ["ShinyDescription"]=> string(0) "" ["TextTitle"]=> string(0) "" ["TextCols"]=> string(1) "1" ["TextText1"]=> string(0) "" ["TextText2"]=> string(0) "" ["H5pTitle"]=> string(0) "" ["H5pDescription"]=> string(0) "" ["H5pCode"]=> string(0) "" ["MtmTitle"]=> string(0) "" ["MtmText"]=> string(0) "" ["CodeTitle"]=> string(0) "" ["CodeCode"]=> string(245) " summary(dat$lsport) Andere Sportart Basketball Fußball 14 18 34 Keine Sportart Schwimmen Tennis 32 16 6" ["CodeType"]=> string(0) "" } [4]=> array(16) { ["mblockType"]=> string(4) "Text" ["ShinyApp"]=> string(0) "" ["ShinyTitle"]=> string(0) "" ["ShinyDescription"]=> string(0) "" ["TextTitle"]=> string(0) "" ["TextCols"]=> string(1) "1" ["TextText1"]=> string(0) "" ["TextText2"]=> string(0) "" ["H5pTitle"]=> string(0) "" ["H5pDescription"]=> string(0) "" ["H5pCode"]=> string(0) "" ["MtmTitle"]=> string(0) "" ["MtmText"]=> string(0) "" ["CodeTitle"]=> string(0) "" ["CodeCode"]=> string(130) "Aus der Häufigkeitstabelle können wir den Modalwert direkt ablesen. Die am häufigsten genannte Lieblingssportart ist Fußball. " ["CodeType"]=> string(0) "" } [5]=> array(16) { ["mblockType"]=> string(3) "Mtm" ["ShinyApp"]=> string(0) "" ["ShinyTitle"]=> string(0) "" ["ShinyDescription"]=> string(0) "" ["TextTitle"]=> string(0) "" ["TextCols"]=> string(1) "1" ["TextText1"]=> string(0) "" ["TextText2"]=> string(0) "" ["H5pTitle"]=> string(0) "" ["H5pDescription"]=> string(0) "" ["H5pCode"]=> string(0) "" ["MtmTitle"]=> string(55) "Wie verwende ich das Paket "DescTools" als Alternative?" ["MtmText"]=> string(440) "Eine alternative Möglichkeit bietet das Paket "DescTools". Wir laden das Paket mit der Funktion library(DescTools). Falls das Paket nicht installiert ist, müssen wir dies einmalig nachholen: install.packages("DescTools") # Installation nur einmalig notwendig library(DescTools) Die Funktion Desc gibt die zentralen Statistiken direkt aus und stellt die Verteilung grafisch dar. Desc(dat$punkte) Desc(dat$lsport)" ["CodeTitle"]=> string(0) "" ["CodeCode"]=> string(0) "" ["CodeType"]=> string(0) "" } [6]=> array(16) { ["mblockType"]=> string(4) "Text" ["ShinyApp"]=> string(0) "" ["ShinyTitle"]=> string(0) "" ["ShinyDescription"]=> string(0) "" ["TextTitle"]=> string(0) "" ["TextCols"]=> string(1) "1" ["TextText1"]=> string(1349) "Wenn wir an einzelnen Maßzahlen interessiert sind, können wir alle Lagemaße auch einzeln ermitteln: ### Modalwert Der Modalwertmuss wie oben gezeigt aus einer Häufigkeitstabelle abgelesen werden. Die von der summary()-Funktion für Factor-Variablen ausgegebene Tabelle erhalten wir auch mit table(). Auf die Variable *lsport* (Lieblingssport) angewendet table(dat$lsport) erhalten wir das Ergebnis Andere Sportart Basketball Fußball 14 18 34 Keine Sportart Schwimmen Tennis 32 16 6 Fußball kommt mit 34 Fällen am häufigsten vor. Die am häufigsten genannte Lieblingssportart ist Fußball. Die Funktion typical_value() aus dem Paket "sjmisc" kann verwendet werden, um den Modus direkt zu berechnen. Das Paket muss dazu ggf. installiert und mit library() aktiviert werden. Als Option wird *fun = "mode"* angegeben, um den Modus zu erhalten. Hinweis: Die Funktion gibt auch für multimodale Verteilungen nur einen Modus aus. Im Zweifel muss in der Häufigkeitstabelle geprüft werden, ob mehrere Modi vorliegen. install.packages("sjmisc") # Paket installieren library(sjmisc) # Paket aktivieren typical_value(dat$lsport, fun = "mode") . [1] "Fußball"" ["TextText2"]=> string(0) "" ["H5pTitle"]=> string(0) "" ["H5pDescription"]=> string(0) "" ["H5pCode"]=> string(0) "" ["MtmTitle"]=> string(0) "" ["MtmText"]=> string(0) "" ["CodeTitle"]=> string(0) "" ["CodeCode"]=> string(0) "" ["CodeType"]=> string(0) "" } [7]=> array(16) { ["mblockType"]=> string(4) "Text" ["ShinyApp"]=> string(0) "" ["ShinyTitle"]=> string(0) "" ["ShinyDescription"]=> string(0) "" ["TextTitle"]=> string(0) "" ["TextCols"]=> string(1) "1" ["TextText1"]=> string(297) "### Median Mit der Funktion median() lässt sich der Median eines Merkmals berechnen. Für das Merkmal *lernzeit* verwenden wir: median(dat$lernzeit) und erhalten als Ergebnis einen Median von 6,9. Die Hälfte der Schüler\*innen hat 6,9 oder weniger Stunden für den Test gelernt. " ["TextText2"]=> string(0) "" ["H5pTitle"]=> string(0) "" ["H5pDescription"]=> string(0) "" ["H5pCode"]=> string(0) "" ["MtmTitle"]=> string(0) "" ["MtmText"]=> string(0) "" ["CodeTitle"]=> string(0) "" ["CodeCode"]=> string(0) "" ["CodeType"]=> string(0) "" } [8]=> array(16) { ["mblockType"]=> string(3) "Mtm" ["ShinyApp"]=> string(0) "" ["ShinyTitle"]=> string(0) "" ["ShinyDescription"]=> string(0) "" ["TextTitle"]=> string(0) "" ["TextCols"]=> string(1) "1" ["TextText1"]=> string(0) "" ["TextText2"]=> string(0) "" ["H5pTitle"]=> string(0) "" ["H5pDescription"]=> string(0) "" ["H5pCode"]=> string(0) "" ["MtmTitle"]=> string(43) "Wie lassen sich weitere Quantile berechnen?" ["MtmText"]=> string(929) "Quantile berechnen wir mit der Funktion quantile(). Mit der Option *probs* geben wir an, für welchen Anteil wir den Quantilwert berechnen wollen. Für das 1%-Quantil schreiben wir 0.01, für das 12%-Quantil 0.12, usw. Wir möchten das 25%-Quantil (also das erste Quartil) sowie das 75%-Quantil (also das dritte Quartil) der Variable *lernzeit* bestimmen und nutzen die folgenden Befehle: quantile(dat$lernzeit, probs=0.25) quantile(dat$lernzeit, probs=0.75) Es können auch Quantile für mehrere Anteilwerte gleichzeitig berechnet werden: quantile(dat$lernzeit, probs=c(0.25, 0.75)) Das erste Quartil liegt bei 5,2 und das dritte Quartil liegt bei 8,1. Ohne Angabe von Anteilswerten quantile(dat$lernzeit) erhalten wir standardmäßig alle drei *Quartile* sowie das 0%- und das 100%-Quantil: 0% 25% 50% 75% 100% 0.700 5.225 6.900 8.100 12.200 2.200 " ["CodeTitle"]=> string(0) "" ["CodeCode"]=> string(0) "" ["CodeType"]=> string(0) "" } [9]=> array(16) { ["mblockType"]=> string(4) "Text" ["ShinyApp"]=> string(0) "" ["ShinyTitle"]=> string(0) "" ["ShinyDescription"]=> string(0) "" ["TextTitle"]=> string(0) "" ["TextCols"]=> string(1) "1" ["TextText1"]=> string(831) "Wir benutzen die Funktion mean() für die Berechnung des arithmetischen Mittels. Das arithmetische Mittel des der Variable *punkte* erhalten wir mit mean(dat$punkte) . [1] 73.23333 Das arithmetische Mittel der Punktezahl beträgt 73,2. Durchschnittlich wurden in dem Test also 73 Punkte erreicht. ### Wichtige Befehlsoptionen #### *na.rm = TRUE* bei fehlenden Werten Liegen bei einer Variable im Datensatz nicht für alle Beobachtungsfälle Daten vor, führen diese *fehlenden Werte* (in R als *NA* gekennzeichnet) bei der Berechnung von Median und arithmetischem Mittel zu dem Ergebnis . [1] NA Um die fehlenden Werte bei der Berechnung auszuschließen, muss explizit die Befehlsoption *na.rm = TRUE* angegeben werden: mean(dat$punkte, na.rm = TRUE) median(dat$punkte, na.rm = TRUE)" ["TextText2"]=> string(0) "" ["H5pTitle"]=> string(0) "" ["H5pDescription"]=> string(0) "" ["H5pCode"]=> string(0) "" ["MtmTitle"]=> string(0) "" ["MtmText"]=> string(742) "### Arithmetisches Mittel Wir benutzen die Formel mean() für die Berechnung des arithmetischen Mittels. Für das arithmetische Mittel des Merkmals *punkte* schreiben wir mean(dat$punkte) Das arithmetische Mittel der Punktezahl beträgt 73,2 Punkte. Durchschnittlich wurden in dem Test also 73 Punkte erreicht. ### Wichtige Befehlsoptionen Liegen bei einer Variable im Datensatz nicht für alle Beobachtungsfälle Daten vor, können diese *fehlenden Werte* (als *NA* bezeichnet) bei der Berechnung von Median und arithmetischem Mittel zu dem Ergebnis [1] NA führen. Um die fehlenden Werte bei der Berechnung auszuschließen, verwenden wir die Befehlsoption *na.rm = TRUE*: mean(dat$punkte, na.rm = TRUE)" ["CodeTitle"]=> string(0) "" ["CodeCode"]=> string(0) "" ["CodeType"]=> string(0) "" } }

FREQUENCIES VARIABLES=punkte schlafdauer lsport 
  /STATISTICS=MEAN MEDIAN MODE.

DESCRIPTIVES VARIABLES=punkte 
  /STATISTICS=MEAN.